Modelos algebraicos

¿Por qué usar modelos?

Los modelos algebraicos son una herramienta que nos ayuda a solucionar problemas cotidianos, cuando no contamos con dos datos o más. Para construir este tipo de modelos, debemos traducir el lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico, para lo cual representamos las incógnitas con una literal; formamos una expresión, y hacemos uso de la igualdad  “ =  “ para así establecer la ecuación a resolver.

En todo momento el modelo proporciona la fórmula del problema. Es una representación simplificada del mundo verdadero, incluye variables pertinentes que se pueden controlar. Por ejemplo, un modelo de caída libre de los cuerpos no se refiere a variables como color, textura, o la forma del cuerpo involucrado. Es así como un modelo no puede incluir todas las variables porque por medio de un número pequeño de variables pueden explicar la mayoría de los fenómenos.

La mayoría de los modelos son simbólicos porque los símbolos representan las propiedades del campo de estudio que se desee. Los primeros modelos eran de representaciones físicas tal como modelos para el comportamiento de aviones, tanques de remolque, barcos, porque los modelos físicos son en comparación con otros fáciles de construir.

Lenguaje común y lenguaje algebraico

Para iniciar la construcción de un modelo algebraico, debemos precisar el valor (o valores) que deseamos encontrar, sin recurrir al ensayo y error; a éste valor le llamaremos incógnita.

En el problema planteado, la incógnita es el número que le tenemos que sumar a 10 y restar a 18 para obtener la misma cantidad.

Posteriormente, es necesario representar la incógnita con una letra o literal x.

Al sustituir el valor que deseamos encontrar por la literal “x”, en el ejemplo que estamos analizando, formaríamos la expresión 10 + x, así como 18 - x. Si decimos que los resultados de estas expresiones deben ser iguales entonces podemos representarlas con la siguiente expresión:

10 + x = 18 - x

Encontrar el número buscado, se reduce entonces, a encontrar un número tal, que al ser sustituido por la literal x, en la expresión anterior, haga que en ambos lados se obtenga el mismo valor.

No ha sido una casualidad que usemos la palabra expresión para referirnos a 10 + x, 18 - x, así como a 10 + x = 18 - x.  El concepto expresión está relacionado al lenguaje o lengua.  Es muy común usar como sinónimos expresión y oración.

En el siguiente cuadro podemos ver como las expresiones x; 10 + x; 18 - x, así como 10 + x = 18  - x son semejantes a una oración, a través de las cuales comunicamos una idea concreta.

le tenemos que sumar a 10	10+X
LENGUAJE COMÚN	EXPRESIÓN
Queremos saber qué número	X
y restar a 18	18-X
para obtener la misma cantidad	10+X=18-X

En la columna izquierda, aparecen oraciones o ideas en el lenguaje cotidiano. En la columna derecha, puedes observar una forma de representar esas ideas al sustituir el valor que queremos encontrar por “x”.

Las expresiones que aparecen en la columna de la derecha de la tabla 10, son oraciones de un lenguaje cotidiano, el cual es traducido a un lenguaje algebraico. Ahora bien cuando dos expresiones involucran el signo igual ( = ), son llamadas igualdades ó ecuaciones. Las expresiones que aparecen a cada lado del signo =, se llaman miembros de la ecuación.

Es necesario aclarar que en este capítulo, únicamente estamos analizando como se construyen los modelos algebraicos, por lo que no abordaremos el procedimiento para resolverlos. Dicho procedimiento lo estudiarás en las siguientes unidades de esta asignatura.

Con la única finalidad de que compruebes que la ecuación tiene el mismo valor en ambos miembros, te proporcionamos el valor de “x”, el cual es 4.

Entonces, sustituyendo las incógnitas por el valor de 4, encontramos que dicha igualdad se cumple:

10 + 4 = 18 - 4

14 = 14

Ejemplo:

Actualmente, mi padre tiene 46 años y yo tengo 17. ¿Dentro de cuántos años, mi edad será exactamente la mitad de la edad que tendrá mi padre? Es claro que actualmente mi edad (17 años), es menor que la mitad de la de mi padre (23 años).

Padre e hijo.

En este ejemplo, es importante destacar la dificultad para determinar cuáles son las operaciones aritméticas que se realizarán con los datos numéricos, para encontrar el valor que requerimos (el número de años que tienen que pasar para que, en ese momento, mi edad sea la mitad de la de mi padre).

Independientemente de que este ejemplo parezca más complicado que el anterior, procederemos de la misma forma.  Primero determinemos nuestra incógnita, que en este caso es el número de años que tiene que transcurrir para que mi edad sea la mitad de la de mi padre.

Ahora sustituyamos la incógnita, por la literal x, para así formar las expresiones que solucionarán este problema. Observa la tabla, en la que aparece la traducción del problema del lenguaje común, al lenguaje algebraico:

Lenguaje común	Expresión
Edad actual del padre	46
Mi edad actual	17
Después de ciertos años	x
La edad de mi padre será	46 + x
Yo tendré	17 + x
De tal forma que la mitad de la de mi padre	46 + x 2
Será igual a la mía	17 + x = 46 + x 2

Con esta tabla hemos traducido el problema del lenguaje común al lenguaje algebraico, hasta obtener la ecuación que le dará solución.

Así, las expresiones algebraicas que obtenemos son x, 46 + x,

46 + x

2

así como

17 + x =	46 + x
	2

Y a su vez, esta última es la ecuación que dará respuesta a nuestro problema.

Igual que en el ejemplo anterior, te daremos el valor de “x” para que compruebes que en ambos miembros de la ecuación se obtiene la misma cantidad, cumpliéndose de esta forma la igualdad.

El valor de “x” es 12, y al sustituirlo en la ecuación encontramos que:

17 + 12 =	46 + 12
	2

29 =	58
	2

29=29

Lo cual quiere decir que dentro de 12 años mi edad (29 años) será exactamente la mitad de la de mi padre (58 años).