Problemas de trigonometría básica: Seno, coseno y tangente

Introducción

Consideremos un triángulo rectángulo (con un ángulo recto) y un ángulo $\alpha$:

El lado opuesto al ángulo recto (el de 90º) se denomina hipotenusa y los otros dos lados son los catetos:

• el cateto opuesto es el que está enfrente del ángulo $\alpha$

• y el cateto contiguo o adyacente es el otro cateto, es decir, el que está en contacto con el ángulo $\alpha$.

Las razones trigonométricas se definen como la razón entre los lados del triángulo:

Seno

El seno de $\alpha$ es el cateto opuesto entre la hipotenusa:

Coseno

El coseno de $\alpha$ es el cateto contiguo o adyacente entre la hipotenusa:

Tangente

La tangente de $\alpha$ es seno entre el coseno, es decir, el cateto opuesto entre el contiguo:

Otra forma de escribir la tangente de $\alpha$ es $tg\left(\alpha \right)$.

Nota: tened en cuenta que, si cambiamos de ángulo, entonces cambian los catetos: el opuesto pasa a ser el contiguo y viceversa.

Una regla mnemotécnica que puede ayudaros a recordar las fórmulas:

• Seno - opuesto

• Coseno - contiguo

• Tangente = seno/coseno = opuesto/contiguo

Finalmente, veamos por encima qué son las razones trigonométricas inversas:

Razones inversas

Si conocemos el seno, el coseno o la tangente del ángulo $\alpha$ y queremos calcular el ángulo $\alpha$, usamos las razones trigonométricas inversas:

• La inversa del seno es el arcoseno, escrita como $arcsin$:

  

  En la calculadora es la tecla $si{n}^{-1}$.

• La inversa del coseno es el arcocoseno, escrita como $arccos$:

  

  En la calculadora es la tecla $co{s}^{-1}$.

• La inversa de la tangente es la arcotangente, escrita como $arctan$:

  

  En la calculadora es la tecla $ta{n}^{-1}$.

Problemas resueltos de trigonometría

Problema 1

Determinar si los lados $a$, $b$ y $c$ de cada uno de los siguientes triángulos rectángulos son la hipotenusa, el lado opuesto o el lado contiguo al ángulo $\alpha$ representado:

Triángulo 1:

Triángulo 2:

Triángulo 3:

Solución

Triángulo 1:

• $a$ es el lado contiguo o adyacente

• $b$ es el lado opuesto

• $c$ es la hipotenusa

Triángulo 2:

• $a$ es la hipotenusa

• $b$ es el lado opuesto

• $c$ es el lado contiguo o adyacente

Triángulo 3:

• $a$ es el lado contiguo o adyacente

• $b$ es la hipotenusa

• $c$ es el lado opuesto

Problema 2

(Con calculadora) Calcular los ángulos $\alpha$ sabiendo cuánto valen su seno o su coseno:

a) $sin\left(\alpha \right)=0.999390827$

b) $sin\left(\alpha \right)=0.6691306064$

c) $sin\left(\alpha \right)=0.7660444431$

d) $sin\left(\alpha \right)=0.9743700648$

e) $cos\left(\alpha \right)=0.8090169944$

f) $cos\left(\alpha \right)=0.2588190451$

g) $cos\left(\alpha \right)=0.9271838546$

h) $cos\left(\alpha \right)=0.4067366431$

Solución

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Problema 3

Simplificar las siguientes expresiones:

• $sin\left(x\right)-2\left(sin\right(x)-3sin(2x\left)\right)$

• $2\cdot \left(cos\right(x)-cos(2x\left)\right)-\left(2cos\right(x)-cos(2x\left)\right)$

• $2sin\left(x\right)-\frac{4sin\left(x\right)-cos\left(x\right)}{2}$

Solución

Problema 4

Calcular el valor de $x$ de cada figura utilizando las razones trigonométricas viastas:

Figura 1:

Figura 2:

Figura 3:

Figura 4:

Solución

Figura 1:

Conocemos la hipotenusa y el ángulo. Como queremos calcular el lado opuesto, utilizamos el seno:

Despejamos la incógnita:

El lado mide, aproximadamente, 16.900.

Figura 2:

En esta figura conocemos el lado contiguo y el ángulo. Para calcular la hipotenusa, utilizamos el coseno:

Despejamos la incógnita:

La hipotenusa mide, aproximadamente, 11.289.

Figura 3:

Conocemos el lado contiguo y la hipotenusa, así que utilizamos el coseno:

Despejamos la incógnita:

Por tanto, el ángulo mide, aproximadamente, 48.164°.

Figura 4:

Como conocemos el lado opuesto y el contiguo al ángulo, utilizamos la tangente:

Despejamos la incógnita:

Por tanto, el ángulo mide, aproximadamente, 26.565°.

Problema 5

Calcular el ángulo $\alpha$ de cada uno de los siguientes triángulos:

Triángulo 1:

Triángulo 2:

Triángulo 3:

Solución

Tendremos que usar las inversas del seno, coseno o tangente según los datos que tengamos.

Triángulo 1:

Como conocemos el lado contiguo y la hipotenusa, usamos el coseno:

Despejamos la incógnita:

Por tanto, el ángulo mide, aproximadamente, 34.208°.

Triángulo 2:

Como conocemos el lado opuesto y la hipotenusa, usamos el seno:

Despejamos la incógnita:

Por tanto, el ángulo mide, aproximadamente, 41.836°.

Triángulo 3:

Como conocemos el lado contiguo y el opuesto, usamos la tangente:

Despejamos la incógnita:

Por tanto, el ángulo mide, aproximadamente, 63.435°.

Problema 6

Calcular la base (lado $x$) del siguiente triángulo escaleno:

Solución

La altura (segmento discontinuo) divide el triángulo en dos triángulos rectángulos.

El lado $x$ es la suma de las bases de los dos triángulos:

Y la altura (segmento discontinuo) coincide con el lado opuesto a los ángulos representados.

Por tanto, utilizando la tangente, podemos hallar las bases.

Calculamos la base del triángulo del lado izquierdo:

Calculamos la base del otro:

La base del triángulo del problema mide, aproximadamente,