Polígonos Regulares e Irregulares

¿Has analizado alguna vez los letreros de la calle y sus diferentes formas?

Jonas visitó la sección de arte moderno en el museo de arte. Había una exposición muy interesante sobre señaléticas. Un artista tomó una pila de señaléticas y las soldó entre sí. La estructura medía diez pies de altura.

Jonas notó que muchas de las señaléticas eran señales de pare.

Una señal de pare es un octágono. ¿Es un octágono regular o irregular?

Esta Sección te servirá para poder responder esta pregunta.

Orientación

Un polígono puede tener cierta cantidad de lados, pero los lados no siempre deben medir lo mismo. Los dos polígonos siguientes son pentágonos: tienen cinco ángulos y lados. ¡Sin embargo mira cuan diferentes son!

Cuenta el número de ángulos y lados. Cada uno tiene cinco, así que definitivamente son pentágonos.

¿Qué hace que se vean tan diferentes?

Mira el largo de los lados. En el primer pentágono, todos los ángulos y lados son congruentes. En el segundo pentágono, todos los ángulos y lados miden distinto.

Un polígono con ángulos y lados congruentes se llama polígono regular. Cualquier polígono puede ser regular.

Veamos algunos ejemplos.

Como puedes ver, un hexágono regular tiene seis lados congruentes. También tiene seis ángulos congruentes. Recuerda que la suma de los ángulos de un hexágono siempre será 720∘ . Debido a que los ángulos de un hexágono regular son congruentes, cada uno mide 720÷6=120∘ . Un hexágono regular, sin importar el largo de sus lados, siempre tendrá ángulos de 120∘ .

Un octágono regular tiene ocho lados y ángulos congruentes. No importa que tan largos sean, mientras sean congruentes. Cada octágono tiene los mismos ángulos. ¿Pueden encontrar la medida de los ángulos de un octágono?

Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un octágono es 1,080∘ . Ya que los ángulos son congruentes, solo debemos dividir por ocho:

1,080÷8=135∘

Cada octágono regular tiene ángulos de 135∘ .

El término "rectángulo regular" no se usa porque un rectángulo con lados congruentes es realmente un cuadrado. Los cuatro ángulos de un cuadrado siempre miden 90∘ , y la suma de ellos es 360∘ . Existe un nombre especial para un "triángulo regular". Un triángulo con tres lados congruentes se llama triángulo equilátero. Sus tres ángulos siempre miden 60∘ , y la suma de ellos siempre es 180∘ .

Cualquier polígono que no tenga lados congruentes es un polígono irregular. Los polígono irregular también pueden ser pentágonos, hexágonos y nonágonos, pero no tienen ángulos o lados congruentes. Veamos algunos ejemplos.

En estos polígonos, algunos lados son más largos que otros. Algunos ángulos miden más que otros. No pueden ser regulares si sus ángulos y lados tienen diferentes medidas, por lo que deben se irregulares. Los polígonos irregulares se ven más disparejos y torcidos que los polígonos regulares.

Practiquemos identificando polígonos regulares e irregulares.

Identifica cada polígono y clasifícalo como regular o irregular.

Primero, cuenta el número de algunos y lados.

Figura 1 - Tiene seis ángulos y lados, debe ser un hexágono. ¿Miden lo mismo sus lados? Si no estás seguro usa una regla. Son iguales, por lo que este es un hexágono regular.

Figura 2 - Tiene siete ángulos y lados, debe ser un heptágono. El lado superior es mucho más corto que el lado inferior. Estos lados, definitivamente, no son congruentes. Por lo tanto, este es un polígono irregular.

Figura 3 - Tiene cinco ángulos y lados, debe ser un pentágono. Todos sus ángulos miden 108∘ , así que es un pentágono regular.

Figura 4 - ¿Cuántos lados tiene este polígono? Tiene ocho lados, debe ser un octágono. Se ve un poco torcido, así que es poco probable que sus lados sean congruentes. Veamos sus ángulos. Algunos miden lo mismo, pero no todos. No puede ser un polígono regular porque sus ángulos no son congruentes. Este es un polígono irregular.

Podemos identificar un polígono por su número de lados y ángulos o por la suma de sus ángulos interiores. Podemos si son regulares o irregulares según la congruencia de sus ángulos o lados.

Ahora conoces todo lo que necesitas para analizar polígonos y sus relaciones.

Cuando las rectas se intersecan en el plano, forman polígonos. Podemos aplicar lo que sabemos para clasificarlos, encontrar sus lados o resolver la medida de los ángulos faltantes. Observa el siguiente diagrama.

La intersección de estas cinco rectas ha creado diferentes polígonos. Primero, veamos si los podemos encontrar todos.

El más grande es AMDE . Dentro esta figura hay otras dos figuras. ¿Cuáles son?

Una figura es ABCDE . ¿Qué sabemos de la figura ABCDE ? Primero, podemos determinar qué tipo de polígono es. Tiene cinco ángulos y lados, debe ser un pentágono. Dos de sus ángulos miden 90∘ , y uno mide 120∘ . ¿Podemos encontrar las medidas de los otros ángulos? Sí podemos, pero para hacerlo debemos observar la tercera figura.

La tercera figura es el triángulo MBC . Tiene dos ángulos de 60∘ Podemos usar estos ángulos para encontrar la medida de los ángulos faltantes del pentágono ABCDE . Los ángulos ABC y MBC son suplementarios. En otras palabras, juntos forman una línea recta. Una línea recta mide 180∘ . Por lo tanto la suma de estos dos ángulos es 180∘ . Podemos restar para encontrar el valor de ABC .

180−60=120∘

El ángulo ABC mide 120∘ . Dibuja el diagrama en tu cuaderno para completar los datos faltantes. Veamos si podemos encontrar la medida del ángulo BCD . Conocemos el valor de cuatro ángulos de la figura ABCDE . Debido a que es un pentágono, la suma de sus ángulos internos debe sumar 540∘ . Podemos escribir una ecuación para encontrar el valor del anglo desconocido.

=540∘

El quinto y último ángulo debe medir 120∘ . Sumemos todos los ángulos del pentágono para asegurarnos que sea 540∘ .

90+90+120+120+120=540∘

Aun tenemos un ángulo desconocido, el ángulo AMD . ¿Podemos encontrar su medida? De hecho, ¡hay dos maneras de hacerlo! Es el tercer ángulo del triángulo BMD , y sabemos que los ángulos de un triángulo suman 180∘ . Además es el cuatro ángulo del cuadrilátero AMDE , y sabemos que los ángulos de un cuadrilátero suman 360∘ . We can set up an equation to find AMD .

=180∘

Hemos usado las propiedades de los polígonos para encontrar todos los ángulos desconocidos del diagrama. Ahora que conocemos todos los ángulos, clasifiquemos cada polígono como regular e irregular.

Ejemplo A

Solución: Polígono Regular

Ejemplo B

Solución: Polígono Irregular

Ejemplo C

Solución: Polígono Regular

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Jonas visitó la sección de arte moderno en el museo de arte. Había una exposición muy interesante sobre señaléticas. Un artista tomó una pila de señaléticas y las soldó entre sí. La estructura medía diez pies de altura.

Jonas notó que muchas de las señaléticas eran señales de pare.

Una señal de pare es un octágono. ¿Es un octágono regular o irregular?

Una señal de pare es un octágono, todos sus lados miden lo mismo. Esto significa que este es un octágono regular porque todos sus lados miden lo mismo.

Vocabulario

Polígono

Figura cerrada simple formada por líneas rectas y ángulos. Los polígonos se pueden identificar por el número de lados y ángulos.

Cuadrilátero

Un figura de cuatro lados.

Paralelogramo

Un cuadrilátero con lados opuestos paralelos.

Rectángulo

Un paralelogramo con lados opuestos paralelos y congruentes y cuatro ángulos rectos.

Cuadrado

Un rectángulo con cuatro lados congruentes.

Rombo

Un paralelogramo con cuatro lados congruentes.

Polígono Regular

El largo de sus lados y la medida de sus ángulos son congruentes.

Polígono Irregular

El largo de sus lados y la medida de sus ángulos no son congruentes.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

Identifica la figura.

Respuesta

Práctica

Instrucciones: Identifica cada tipo de cuadrilátero descrito.

1. Un cuadrilátero con un par de lados paralelos.

2. Un paralelogramo con lados opuestos paralelos y congruentes y cuatro ángulos rectos.

3. Un cuadrilátero con cuatro lados opuestos paralelos y congruentes y cuatro ángulos rectos.

4. Un rectángulo con cuatro lados congruentes y paralelos.

Instrucciones: Identifica los polígonos en el diagrama. Encuentra las medidas de los ángulos faltantes.

5. 

Instrucciones: Responde verdadero o falso.

6. Un rombo siempre es un cuadrado.

7. Un paralelogramo tiene lados opuestos paralelos.

8. Un rectángulo es un tipo de paralelogramo.

9. Cuadrados, rectángulos y rombo son paralelogramos con cuatro ángulos rectos.

10. Un trapecio tiene cuatro ángulos rectos.

11. Un trapecio tiene un par de lados paralelos.

12. Un polígono regular tiene lados y ángulos congruentes.

13. Un pentágono no puede ser irregular.

Instrucciones : Identifica cada polígono.

14. a

15. b

16. c

17. d